I . Relativité Restreinte et Espace Temps plat

1. Relativité Restreinte et Espace Temps plat



Introduction



Nous allons commencer par un tour
d'horizon sur la RELATIVITÉ RESTREINTE
et l' ESPACE TEMPS plat associé : est plat
un espace temps dont la métrique peut être mise sous une forme où les
coefficients ne dépendent pas des coordonnées. Cela va nous permettre de nous
rappeler l'objet de la RELATIVITÉ RESTREINTE et d'introduire les tenseurs et
tout ce qui tourne autour, concepts qui vont se révéler essentiels par la
suite, dans le contexte plus simple de la relativité Restreinte libre des
complications supplémentaires liées à la courbure de l'ESPACE
TEMPS . Dans cette partie nous allons exclusivement
travailler dans un espace temps plat et de plus en coordonnées orthonormées ( type coordonnées cartésiennes). Il est inutile de dire que
nous pourrions travailler dans n'importe quel système de coordonnées, mais ce
serait empiéter sur les parties suivantes, donc nous
différerons cet aspect.


Espace temps de la RR comparé à Espace et Temps de la
mécanique classique



On dit souvent que le RELATIVITÉ
RESTREINTE est une théorie de l'espace temps à 4 dimensions : trois d'espace,
une de temps. La mécanique Newtonienne utilise également trois dimensions
d'espace et une de temps, où est la différence ?



Si on considère un jardin,
variété à deux dimensions, nous allons repérer les points sur un tel plan en introduisant
arbitrairement des coordonnées, par exemple x, y orthogonales.


La
distance : invariant métrique classique



Il est certain que ce qui va nous
intéresser ce sont les propriétés géométriques ( les
invariants) qui sont indépendantes des coordonnées arbitraires. Par exemple la distance entre
deux points donnée par :



Si on avait choisi un autre
système de coordonnées cartésiennes déduit du premier par une rotation des axes
x,y autour de l'origine, on aurait des
coordonnées x' et y' avec pour la
distance la même formule :



Nous en concluons que la distance
entre deux points est invariante vis à vis de tels changement de coordonnées.



C'est pourquoi il est important
de penser le plan comme variété à deux dimensions, bien que nous utilisions
deux nombres pour repérer les points. Ces nombres ne sont pas l'essence de la
géométrie, puisqu'ils se transforment en d'autres lorsqu'on fait subir une rotation
aux axes ( on peut les permuter) en laissant invariant
les distances, mais seulement un moyen conventionnel de la décrire. En
mécanique Newtonienne ce n'est pas le cas, on ne peut pas permuter l'axe du
temps avec un axe d'espace. Le temps est
une dimension indépendante de l'espace.


Construction d'un référentiel inertiel en RR



Il en va autrement en RELATIVITÉ
RESTREINTE. Considérons les coordonnées (t,x,y,z) de l'ESPACE TEMPS,
dans cet ordre. Les coordonnées spatiales (x,y,z) forment
un système cartésien standard, que l'on peut construire en assemblant des
barres rigides qui se coupent à angle droit. Ce système peut se mouvoir
librement non accéléré. La coordonnée temporelle peut être fournie par un jeu
d'horloges attachées aux barres. On peut supposer les barres infiniment longues
et les horloges infiniment nombreuses pour baliser tout l'espace temps ( expérience de pensée). Les horloges sont synchronisées en
considérant que si nous voyageons à une vitesse constante v dans une direction d'un point A à un point B, la différence de temps marquée par les
horloges en A et B , va être la même que si j'effectue
le même voyage dans l'autre direction ( de B vers A) dans les mêmes conditions
( dans sa définition de l'article fondateur de la RELATIVITÉ RESTREINTE de
1905, Einstein utilise la lumière comme voyageur). Le système de coordonnées
ainsi construit est appelé référentiel
inertiel ( ou Galiléen).


Evènements, points évènements



Un événement ( on dit parfois point
événement) est défini par une occurrence dans l'espace et le temps, caractérisé
uniquement par (t, x, y,
z).


Où les coïncidences sont fondamentales



En fait Einstein insiste beaucoup
sur le concept de coïncidence, seul
concept qui a une réalité physique selon lui, une
mesure d'espace temps correspond à une coïncidence entre :


- Le point événement


- Son image spatio
temporelle dans le référentiel : Les valeurs repérées sur les règles du point
du référentiel qui coïncide avec le point événement à l'instant considéré, la valeur de l'horloge
située en ce point à cet instant.


L'intervalle
d'espace temps





Ceci étant précisé, introduisons
ex abrupto l'intervalle d'espace temps entre deux évènements.



Remarquons que cette expression
peut être positive, négative ou nulle ( même pour deux
points différents). Ici c est un facteur constant correspondant
à une vitesse pour obtenir une équation homogène. Nous savons que c'est la
vitesse de la lumière, l'important pourtant n'étant pas que les photons
voyagent à la vitesse de la lumière mais qu'il y ait un invariant de ce type.


Cela signifie que si nous
procédons aux mêmes mesures dans un autre référentiel inertiel (t', x',
y', z') nous allons obtenir la
même valeur de s²:



Espace de Minkowski



C'est pourquoi , on peut affirmer
que la RELATIVITÉ RESTREINTE est une théorie se référant à un espace temps à 4 dimensions appelé espace de Minkowski qui est un cas particulier
de variété à 4 dimensions dont nous parlerons plus tard. Comme nous allons le
voir, la transformation de coordonnées que nous avons implicitement définie
permet d'échanger les dimensions d'espace et de temps. Elle généralise la
notion d'invariance de la distance par rotation aux quatre dimensions. La
notion d'évènements simultanés perd sa signification absolue, le temps n'étant
plus absolu et dépendant du référentiel. La distinction entre temps et espace
qui sont liés par la relation (1.3) de l'espace de Minkowski est
conventionnelle et ceci bien que
l'espace et le temps gardent certaines caractéristiques propres, reflétées par
le signe différent dans (1.3)


La plupart des paradoxes de la RR
résultent de la persistance de la notion de temps absolu. En raisonnant en
Espace temps, la plupart de ces paradoxes disparaissent.


Coordonnées d'espace temps



Introduisons une notation
adaptée. Les coordonnées d'espace temps seront dénotées par des lettres
affectées d'un index haut que nous appellerons "exposant" de type
lettre grecque représentant une valeur de 0 à 3, où 0 représente la coordonnée
"temps " soit :



Ne pas confondre cet
"exposant" avec un exposant mathématique. Pour simplifier nous
poserons également :



Ce qui permet d'éviter de
surcharger les formules. De ce fait, si nous gardons la seconde comme unité de
temps, l' unité de distance vaudra 3 × 10⁸
mètres. Si nous devons faire référence
aux dimensions d'espace seulement, nous utiliserons un exposant de type lettre
latine.



Comme nous allons souvent
l'utiliser, il va être commode d'écrire l'intervalle d'espace temps sous une
forme compacte.


La métrique
de Minkowski



Nous allons introduire une matrice
4 x 4 , la
métrique, que nous écrirons avec deux index bas que nous appellerons
"indices" :



Un certain nombre d'ouvrages
utilisent une convention de signe opposée pour la métrique, donc soyons
prudents. Nous avons alors la formule sympathique suivante :






Remarquons que nous avons utilisé
la convention d'Einstein pour la sommation des index. Lorsqu'un index repéré
par la même lettre apparaît dans une telle formule en exposant et en indice,
cela signifie qu'on doit faire la somme
des produits des termes pour la même valeur de l'index, indexés de 0 à 3 dans
notre cas. Le résultat montre que (1.9) est identique à (1.3).


Considérons plus formellement les
types de transformation des coordonnées d'espace temps.


Quelle
sorte de transformation va laisser l'intervalle (1.9) invariant?





Les translations :




Où a^m est un ensemble de quatre valeurs fixes. ( Remarquons que avons affecté le "prime" à
l'index pas à "x" ). Comme les translations laissent x^m
invariant , il est évident que l'intervalle est
invariant.


Une transformation plus générale



Une transformation plus
générale consiste à multiplier le "quadri-vecteur colonne" x^m
par une matrice 4 x 4 indépendante de l'espace temps :



Ce type de transformation ne conserve pas les
différences x^m
, mais les multiplient par la matrice.


Quelles sortes de matrices laissent l'intervalle
invariant ?



En respectant la notation propre
aux matrices cela implique que :



Car la transposée d'un produit de matrices est égal au
produit inversé des transposés et donc:



Déterminons les matrices L^m'_n qui satisfont à
(1.15) garantissant la
conservation de l'intervalle d'espace temps, lorsqu'on les utilise pour
transformer les coordonnées.


Groupe
de Lorentz





Les matrices qui satisfont (1.14)
forment un groupe vis à vis de la multiplication appelé le groupe de Lorentz.
Il y a une relation étroite entre le groupe des rotations O (3) de l'espace
tridimensionnel et le groupe de Lorentz. Le groupe des rotations peut être
interprété comme le groupe des matrices 3 x 3 qui satisfont:



Où 1
est la matrice Identité 3 × 3 . La similitude
avec (1.14) est évidente, la seule
différence résidant dans le signe
moins du premier terme de la métrique h, représentant la coordonnée temporelle. Du coup, le
groupe de Lorentz est souvent référencé par O(3,1). La
matrice Identité 3 × 3 est simplement la
métrique de l'espace Euclidien 3D. Une métrique où toutes les valeurs sont
égales et positives est appelée Euclidienne,
tandis que celles qui comme (1. contiennent un seul signe moins sont appelées
Lorentziennes.


Les transformations de Lorentz se divisent en
plusieurs classes.



Rotations classiques



La première est celle des
rotations classiques telles que la rotation dans le plan x-y :



L'angle de rotation est une
variable périodique de période 2.


Vitesse relatives : les propulsions



Il y a aussi des propulsions qui
peuvent s'interpréter comme des rotations entre l'espace et le temps. Un
exemple est donné ci dessous :



Le paramètre de propulsion F à la différence des
rotations est défini de - à +. Il y a
aussi des transformations discrètes qui renversent la direction du temps ou
d'une ou plusieurs d'espace. Lorsque ces dernières sont exclues on a le groupe
propre de Lorentz SO(3,1). Une transformation générale
s'obtient en multipliant les transformations individuelles. L'expression
explicite pour cette matrice à 6 paramètres ( 3
rotations, 3 propulsions) est assez touffue et nous ne la donnerons pas ici. En
général les transformations du groupe de Lorentz ne vont pas commuter, le
groupe n'étant pas Abélien.


Le groupe de Poincaré



L'ensemble qui inclut les
transformations de Lorentz et les quatre translations est le groupe de Poincaré, non abélien, qui
comporte dix paramètres.


Nous ne serons pas surpris
d'apprendre que les propulsions correspondent aux changement
de coordonnées nécessitées lorsqu'on repère les évènements dans un nouveau
référentiel qui se meut à vitesse constante par rapport à l'original. Regardons
cela de plus près.


Transformation des coordonnées



Pour la transformation décrite
par (1.18), les coordonnées transformées t'
et x' sont données par :



Nous voyons que le point défini
par x'
= 0 se déplace . Sa vitesse est :



Avec une notation plus terre à
terre, en posant F=
tanh^-1v, on obtient



où g =
(1-v²) ^-1/2. Notre
approche formelle rejoint l'approche conventionnelle pour établir les relation
de transformation de Lorentz.. L'application de ces
formules conduit à la dilatation du temps, à la contraction des longueurs etc.


Le
diagramme spatio temporel





Le diagramme spatio
temporel se révèle être un outil très utile pour représenter l'espace de
Minkowski. Traditionnellement on ne représente que les variables x et t
( une variable d'espace et la variable de temps) dans
un référentiel orthonormé. Remarquons que la représentation d'une seule
variable d'espace, parmi les trois, n'entache pas trop la généralité, du fait
que les trois variables d'espaces sont équivalentes et interchangeables.


Alors, selon (1.19), si on
représente l'axe x' dans le plan x-t, il est caractérisé par l'équation (t' = 0). Il est fonction de la
propulsion et est décrit par t = xtanhF,
tandis que l'axe t' (x' = 0) est décrit
par t = x/tanhF. On
voit que les nouveaux axes ( x',y') d'espace
et de temps subissent une rotation qui les rapprochent l'un de l'autre sous
l'effet de la propulsion. Dans la représentation de ce diagramme, ils
n'apparaissent plus orthogonaux au sens Euclidien traditionnel
, bien que dans le contexte Lorentzien, qui
correspond à la "réalité physique" ils le restent. Ce n'est pas surprenant , car l'espace temps est à quatre dimensions et
sa représentation par une tranche 2D n'en est qu'une coupe qui ne le décrit
qu'imparfaitement.



Invariance du chemin de la lumière dans le diagramme.



Il est instructif de considérer
le chemin suivi pour la vitesse c = 1
dans les deux référentiels. Dans les coordonnées originales il est
décrit par x = ±t. Dans le nouveau système il est décrit par x' = ±t' qui correspond à la même droite que x = ±t.
La transformation laisse donc invariante dans ce diagramme les chemins de ce
type. Nous savons que c est la
vitesse de la lumière, mais nous retrouvons par ce moyen le fait que la lumière
se déplace à la même vitesse dans les deux référentiels.


Les
cônes de lumière





L'ensemble des points qui est
relié à un événement unique par des droites correspondant au mouvement de la
lumière est appelé un cône de lumière. Ce cône de lumière est invariant par une
transformation de Lorentz. Les cônes de lumière sont divisés naturellement
entre passé et futur.


Les types d'intervalles



Les points à l'intérieur des cônes de lumière du
passé et du futur d'un point p sont
dits séparés par un intervalle de type
temps de p alors que ceux à l'extérieur sont dits séparés par un intervalle de type espace de
p.
Ceux sur le cône sont dits séparés par un intervalle de type nul de
p où de type lumière.


En se référant à (1.3), nous voyons que l'intervalle de type
temps est négatif, celui de type espace positif et celui de type nul ( ou lumière) est nul. A noter que l'intervalle bien que
défini par un carré ( s²) peut être négatif, ce qui insiste sur
le fait que l'intervalle est bien s²
et pas s.


Ceci met en lumière une
différence essentielle avec la théorie de Newton; si un point q est séparé par un intervalle de type
espace du point p, on ne sait pas
dire ( indépendamment du système de coordonnées) si q est dans le futur, le passé
ou simultané à p.


Vecteurs
en RR





Pour explorer plus avant la
structure de l'espace de Minkowski, il est nécessaire d'introduire les concepts
de vecteurs et de tenseurs. Commençons par les vecteurs qui nous sont plus
familiers.


Dans notre espace à quatre
dimensions les vecteurs auront quatre composantes, et souvent on les appelle
des quadri vecteurs. Ceci n'est pas neutre, par exemple il n'existe pas de
"produit vectoriel " entre
deux quadri-vecteurs.


En plus de la dimension
, le point important à souligner
est que chaque vecteur est localisé à un certain point de l'espace temps. Nous
connaissons bien les vecteurs libres,
s'étendant d'un point de l'espace à un autre, que l'on peut translater ad libidum dans l'espace, et les vecteurs liés, s'étendant du point p de l'espace à un autre point q, avec une origine p bien déterminée. Ces concepts ne sont pas utilisés en Relativité.



L'espace tangent



A la place, nous associerons à
chaque point p de l'espace temps,
l'ensemble de tous les vecteurs qui passent par ce point, que nous appellerons l'espace tangent à p , soit Tp. Ce nom est inspiré par l'analogie à
l'ensemble des vecteurs passant par p
qui génèrent le plan tangent en p à
une surface à deux dimensions courbée.


Mais inspiration mise à part,
l'important est que ces vecteurs soient localisés en un point et ne s'étendent
pas d'un point vers un autre ( même si pour des
raisons de commodité, nous ne nous priverons pas de les représenter sous forme
de flèche dans des diagrammes spatio temporels, la
direction est significative, mais la longueur représentant un autre paramètre
qu'une mesure de l'espace temps)






Plus tard nous ferons référence à
l'espace tangent à chaque point de quelque chose que nous construirons à partir
de l'espace temps. Pour l'instant, référons nous à Tp comme à un espace vectoriel
défini en chaque point de l'espace temps.


Espace vectoriel





Un espace vectoriel, rappelons le, est un ensemble d'objets ( vecteurs) qui peuvent être comparés, additionnés ( muni
d'une structure de groupe) et multipliés
par des nombres réels de façon linéaire.
Pour deux vecteurs quelconques V
et W et des nombres a et b nous avons :



Chaque espace vectoriel a une
origine ( vecteur nul) qui est l'élément neutre vis à
vis de l'addition vectorielle. Beaucoup d'espaces vectoriels possèdent aussi un
produit scalaire, qui est une fonctionnalité supplémentaire non indispensable.


Un vecteur est un objet géométrique parfaitement défini, comme un
champ de vecteurs qui est défini comme un ensemble de vecteurs tel qu'il y ait
un vecteur à chaque point de l'espace temps.


Faisceau tangent



L'ensemble des espaces tangent
d'une variété M est appelée le faisceau
tangent T(M). Cependant, il est souvent utile dans
des configurations concrètes de décomposer les vecteurs en composantes
conformément à un ensemble de vecteurs
de base. Une base est un ensemble de vecteurs qui couvre tout l'espace
vectoriel ( chaque vecteur est une combinaison
linéaire des vecteurs de base) et qui sont linéairement indépendants les uns
des autres ( aucun n'est une combinaison linéaire des autres). Pour un espace
vectoriel donné, il y aune infinité des bases valides, mais chaque base va
comporter le même nombre de vecteurs, qui correspond à sa dimension. Pour un
espace tangent associé à un point dans l'espace de Minkowski, cette dimension
est évidemment quatre.


Supposons que pour chaque espace
tangent nous ayons établi une base constituée de 4 vecteurs ê_(m)
avec m
Î{0, 1, 2, 3} comme d'habitude.
Faisons correspondre la base aux coordonnées x^m,
Alors le vecteur de base ê₍₁₎ va être porté par l'axe des x, etc.. Même s'il n'est pas nécessaire
de choisir la base adaptée au système de coordonnées, c'est souvent bien pratique.
Nous pourrions être plus précis ici, mais comme ce point va être examiné plus
loin on peut se permettre de rester un peu vague. Chaque vecteur A va être
écrit comme une combinaison linéaire des vecteurs de base :



Composantes du vecteur



Les coefficients A^m
sont les composantes du vecteur A. La plupart du temps, on omet la base et on se réfère au vecteur " A^m",
mais gardons à l'esprit que c'est un raccourci. Le vecteur réel est un objet
géométrique, alors que les composantes ne sont que les coefficients des
vecteurs de base dans la base choisie. Comme nous omettons les vecteurs de
base, les index vont repérer les composantes des vecteurs et tenseurs. Nous
avons mis les index entre parenthèses pour les vecteurs de base pour rappeler
qu'il s'agit d'un ensemble de vecteurs et non pas des composantes d'un seul
vecteur.


Vecteur tangent



Le vecteur tangent à une courbe
de l'espace temps est un exemple typique de vecteur. Une courbe ou un chemin
paramétré de l'espace temps est spécifié par ses coordonnées, fonction d'un
paramètre, par exemple x^m
(). Le vecteur tangent V() a les
composantes :



Le vecteur lui même est défini
par V = V^m.ê_(m)


Transformation des composantes



Une transformation de Lorentz
change le coordonnées selon ( 1.11) mais laisse le
paramètre en l'état, nous pouvons
donc en déduire que les composantes du vecteur tangent changent selon :



Mais le vecteur reste le même et
est donc invariant ( contrairement à ses composantes)
par la transformation de Lorentz.


Transformation des vecteurs de base



Nous pouvons en déduire les
propriétés de la transformation des vecteurs de base. Appelons ê_(n') les vecteurs de bases les transformés de la
base initiale. Comme le vecteur est invariant nous avons



Cette relation doit être vérifiée
quelle que soit la valeur des composantes
V^µ .Nous pouvons
donc déduire :



On obtient la nouvelle base ê_(n') en multipliant l'ancienne base ê_(m)
par l'inverse de la transformation de Lorentz L^n'_m. Mais l'inverse d'une transformation de
Lorentz est une transformation de Lorentz. On peut en adaptant la
notation, utiliser les même symboles
pour les deux matrices et aboutir à :



où d_r^m est le symbole de Kronecker
en quatre dimensions. ( Schutz
utilise une notation différente, en disposant toujours les indices en
configuration nord-ouest / sud-est), l'important est de suivre les index
primés. La règle de transformation pour les vecteurs de base s'obtient à partir
de (1.27)



Les vecteurs de base subissent la transformation de
Lorentz inverse de celle des composantes.



Nous voyons que les vecteurs de
base subissent la transformation de Lorentz inverse de celle des composantes.


Résumons : Nous avons introduit
les coordonnées repérées par un exposant, qui se transforment d'une certaine
manière par la transformation de Lorentz. Ensuite nous avons considéré les
composantes d'un vecteur repérées également
par un exposant , ce qui est cohérent
puisqu'elles se transforment de la même manière par une transformation de
Lorentz. Dans un système fixe de coordonnées, chacune des quatre coordonnées x^m
peut être considérée comme une fonction dans l'espace temps, tout comme chacune
des composantes d'un champ de vecteurs. Les vecteurs de la base sur laquelle
s'appliquent les coordonnées se transforment de façon inverse et sont repérés
par un indice. Cette notation garantit que l'objet invariant construit par la sommation des vecteurs de
base multipliés par leurs composantes respectives soit inchangé par une
transformation ( on est parti de là). Fort de ces
acquis, nous allons essayer de généraliser cette règle à des objets à index
multiples ( tenseurs).


Espace
vectoriel dual





A chaque espace vectoriel,
correspond un autre espace vectoriel, de même dimension, que nous allons définir
qui est appelé espace vectoriel dual.



Espace cotangent



L'espace vectoriel dual est en
général dénoté par un astérisque, et comme on appelle l'espace vectoriel
d'origine l'espace Tangent T_p, le dual est appelé l'espace cotangent dénoté T^*_p.
L'espace dual est l'espace vectoriel de toutes les formes linéaires ( par des nombres réels) opérées sur l'espace vectoriel
original.


Forme linéaire



En jargon mathématique on dit que
si ÎT_p^* est un
vecteur dual alors il est une forme linéaire qui satisfait à :



où V, W sont des vecteurs et a, b des nombres réels. La
propriété intéressante de ces formes linéaires est qu'elles ont une structure
d'espace vectoriel. Alors si et hsont
des vecteurs duaux nous avons :



Pour rendre cette formulation
plus concrète, introduisons un jeu de vecteurs duaux de base définis par :



A partir de cette base duale, chaque
vecteur dual peut être défini par ses composantes, que nous repèrerons avec un
indice pour respecter la définition (1.33) :



L'analogie avec les vecteurs est
parfaite et comme pour eux, nous nous référerons aux vecteurs duaux, de façon abrégée
en mentionnant que leurs composantes .


Vecteurs contravariants, vecteurs covariants



Il faut mentionner que les
vecteurs de l'espace tangent T_p ( que nous avons simplement appelés vecteurs) sont également
appelés vecteurs contravariants
et les vecteurs duaux de l'espace cotangent vecteurs covariants. En fait personne ne s'offusquera si vous
désignez les vecteurs ordinaires ( ceux dont les
composantes ont un exposant) par le simple
terme "vecteur" et les autres par "vecteur dual".


Forme mono linéaire



Un autre nom pour vecteur dual est forme mono linéaire , appelée ci après forme linéaire par défaut ( pour
les ordres supérieurs on spécifie, bilinéaire,.., multilinéaire) que nous
allons expliciter.


Action d'un vecteur dual sur un vecteur



La notation simplifiée par la
composante permet d'écrire simplement l'action d'un vecteur dual sur un vecteur
:



C'est pourquoi il est rarement
nécessaire d'inclure explicitement les vecteurs des bases. Les composantes
suffisent.


Les vecteurs sont les formes linéaires des vecteurs
duaux



La symétrie de la formule (1.35)
suggère que nous pouvons également considérer que les vecteurs sont les formes
linéaires des vecteurs duaux en définissant :



Donc espace vectoriel dual du
dual d'un espace vectoriel d'origine est l'espace vectoriel d'origine.

vectoriel dual du
dual d'un espace vectoriel d'origine est l'espace vectoriel d'origine.

Faisceau cotangent



Bien sûr, ce qui nous intéresse
ce n'est pas un vecteur particulier de l'espace temps, mais les champs de vecteurs et de vecteurs duaux.
L'ensemble des vecteurs cotangents au point M
est appelé le Faisceau cotangent , T^*(M).)


Le résultat de l'action d'un champ de vecteurs duaux
sur un champ de vecteurs n'est pas un simple nombre mais un scalaire



Ce scalaire peut simplement être
interprété comme une "fonction"
sur l'espace temps. Un scalaire est une quantité sans index qui est
invariante par une transformation de Lorentz.


Propriétés de transformation d'un vecteur dual



On peut réutiliser les arguments
précédents pour dériver les propriétés de transformation d'un vecteur dual.
Ceci donne , pour ses composantes :



C'est exactement ce qu'on pouvait
escompter, compte tenu de la position des index. Les composantes d'un vecteur dual
se transforment par la transformation inverse de celle d'un vecteur. Remarquons
que ceci garantit que le scalaire défini par ( 1.35)
est invariant par la transformation de Lorentz, comme ce doit être.


Exemples de vecteurs duaux



Considérons quelques exemples de
vecteurs duaux, d'abord dans un autre contexte, puis dans l'espace de
Minkowski. Imaginons l' espace des vecteurs colonnes à
n composantes ( n entier).


Vecteurs lignes



Alors l'espace dual est l'espace
des vecteurs lignes à n composantes
et l'opération est celle de multiplication des matrices colonnes (1,n) par les matrices lignes (n,1). .



Gradient d'une fonction scalaire





Dans l'espace temps, l'exemple le
plus simple de vecteur dual est le gradient d'une fonction scalaire, l'ensemble
des dérivées partielles par rapport aux coordonnées de l'espace temps, que nous
dénotons par "d"..



Règle de transformation des composantes d'un vecteur
dual



La règle de composition relative
à la transformation des dérivées partielles va définir la règle de
transformation des composantes d'un vecteur dual :



Où nous avons utilisé (1.11) et (1.28) pour exprimer l'action de la
transformation de Lorentz sur les coordonnées.



Soulignons que "x^m
" muni d'un exposant, quand il est
au dénominateur d'une dérivée, implique que le résultat est muni d'un indice.
Comme je ne suis pas un adepte de la notation avec virgule, nous allons être
amenés à utiliser ¶_m
très souvent. Remarquons que le gradient est un moyen naturel de définir un vecteur
tangent à une courbe. Le résultat est la dérivée ordinaire de la fonction le
long de la courbe.



Pour en finir avec les vecteurs
duaux, il y a une manière de les figurer en respectant la convention
traditionnelle de représentation d'un vecteur par une flèche.


Voir à cet effet Schutz, ou MTW (où c'est poussé à l'extrême).


Notion
de tenseur





La notion de tenseur résulte
d'une généralisation immédiate des vecteurs et vecteurs duaux. De même qu'un
vecteur dual est une forme linéaire des vecteurs produisant un scalaire, un
tenseur est une forme multilinéaire
portant sur des vecteurs et vecteurs duaux et produisant un scalaire.



Ici ,
"×" dénote le produit Cartésien de sorte que par exemple T_p × T_p est l'espace des paires ordonnées
de vecteurs. Dire que le tenseur est multilinéaire signifie qu'il agit
linéairement sur chacun de ses arguments, par exemple pour un tenseur de type
(1, 1), nous avons :



De ce point de vue, un scalaire
est un tenseur de type (0, 0) , un vecteur est un
tenseur de type (1, 0) , et un vecteur dual est un tenseur de type (0, 1).


L'espace de tous les tenseurs d'un type donné (k, l ) forme un espace vectoriel



L'espace de tous les tenseurs
d'un type donné (k, l ) forme un
espace vectoriel: Les tenseurs de même type peuvent être additionnés entre eux,
multipliés par des nombres réels.


Produit tensoriel



Pour construire une base de cet
espace vectoriel, nous devons définir une nouvelle opération appelée produit tensoriel dénotée par Ä. Si T est un tenseur de type (k, l ) et S un tenseur de type (m, n), nous définissons le tenseur T ÄS de type (k + m, l + n)
par :



(Notons que w⁽ⁱ⁾ et V⁽ⁱ⁾ sont des
vecteurs duaux et des vecteurs distincts , pas leurs composantes. En d'autres
mots commençons par opérer T ( on réalise les
opérations linéaires décrites précédemment) sur l'ensemble approprié de
vecteurs et vecteurs duaux, et ensuite opérons
S sur le reste. Notons qu'en
général, T ÄS ¹S ÄT.


Base pour l'espace des tenseurs (k, l )



Il est maintenant immédiat de
construire une base pour l'espace des tenseurs (k, l )
en effectuant les produits tensoriels des vecteurs de base et des vecteurs de
bases duales. Cette base va être constituée des tenseurs de la forme :



Dans un espace-temps à 4
dimensions, il va y avoir 4^{k + l} tenseurs de base en tout. En introduisant
les composantes, un tenseur quelconque peut être écrit comme suit :



On peut aussi définir les
composantes en opérant le tenseur sur les vecteurs de base des deux types.:






On peut facilement vérifier par
(1.33) et la suite la consistance de ces équations.


Comme pour les vecteurs nous allons
dénoter les tenseurs de façon abrégée par leurs composantes en omettant la
base. Le tenseur T est spécifié par ses composantes T^{m1 ...
mk}_n1^...
_nk L'opération des tenseurs sur un ensemble de vecteurs
et de vecteurs duaux suit le schéma décrit en (1.35):



L'ordre des index est important, car
le tenseur n'opère pas forcément de la même manière sur ses divers arguments.
Enfin, la transformation d'un tenseur par une transformation de Lorentz peut se
déduire des lois que nous connaissons déjà sur la transformation des vecteurs
de base et des vecteurs de bases duales. En suivant la règle de placement des index , on tombe sur la bonne réponse :



Donc, chaque index de type
exposant se transforme comme un vecteur, et chaque index de type de type indice
comme un vecteur dual.


Bien que nous ayons défini les tenseurs
comme des formes multilinéaires de vecteurs et vecteurs duaux, rien ne nous
oblige à opérer tous les arguments. Alors un tenseur ( 1,
1) peut aussi être utilisé comme un opérateur entre vecteurs.



On peut facilement vérifier
que T^m_nVⁿ
est un vecteur ( c.a.d obéit
aux lois de transformation des vecteurs) . De même on peut réaliser des
opérations tensorielles entre tenseurs pour générer un autre tenseur
, par exemple :




Si vous êtes déçus d'avoir passé
si peu de temps sur les tenseurs, compte tenu de leur caractère ésotérique,
rassurez vous, leur maîtrise n'est pas bien difficile. Il faut simplement bien
respecter la position des index et les manipuler selon les règles indiquées.
Certains ouvrages présentent les tenseurs , comme une
collection de nombres se transformant selon (1.51). C'est très utile pour la calcul, mais cela ne souligne pas la nature profonde des
tenseurs qui sont des objets géométriques indépendants du système de
coordonnées choisi.


Champs de tenseurs



Il y a pourtant une subtilité que
nous avons éludé.
Les notions de vecteurs duaux, de tenseurs, de bases et de formes
linéaires appartiennent à l'algèbre linéaire, ils sont appropriés sous réserve
de disposer d'un espace vectoriel abstrait. Dans le cas qui nous intéresse,
nous avons non pas un seul espace vectoriel , mais un
espace vectoriel en chaque point. De fait ce seront les champs de tenseurs qui
vont surtout nous intéresser, qu'on peut définir comme tenseurs dont les
éléments sont des fonctions de l'espace
temps.


Heureusement, toutes les
opérations définies précédemment sont formelles, et ne se soucient pas de
savoir si nous nous intéressons à un seul espace vectoriel ou à un ensemble d'espaces vectoriels, à savoir
un espace vectoriel pour chaque point événement.


Nous allons pouvoir nous en tirer
parti en faisant référence à des fonctions de
x^m
chaque fois que ce sera nécessaire. Il faut bien garder à l'esprit
l'indépendance logique des notions purement mathématiques que nous avons
introduites de leur utilisation dans le cadre de l'espace temps et de la
Relativité ( les vecteurs et tenseurs avaient été
développés bien avant la Relativité).


Exemples de tenseurs



Considérons quelques exemples de
tenseurs. Commençons par les vecteurs colonnes et leurs duaux les vecteurs
lignes.


Un tenseur (1,1) est simplement une matrice Mⁱ_j.



Dans ce système, un tenseur (1,1)
est simplement une matrice Mⁱ_j.


Ses règles opératoires sur une paire (, V) sont identiques à celles de la
multiplication des matrices :



On peut voir les tenseurs comme
des matrices avec un nombre quelconque d'index.


Nous avons déjà rencontré ( sans le dire) des exemples de tenseurs dans l'espace
temps.


Tenseur métrique





Le plus familier est le tenseur
métrique h_mn
de type (0,2).


Produit scalaire



L'opération du tenseur métrique
sur deux vecteurs est si importante qu'elle mérite son propre nom, le produit scalaire ou produit interne .



Comme dans la géométrie Euclidienne,
si le produit scalaire est nul, les vecteurs seront dits orthogonaux. Comme le
produit scalaire est un scalaire, il est laissé invariant par des
transformations de Lorentz, ce qui a pour conséquence que les vecteurs de base
orthogonaux d'un référentiel inertiel Cartésien quelconque restent orthogonaux
après une transformation de Lorentz ( en dépit du
cisaillement mentionné précédemment qui n'est qu'apparent).


Norme d'un vecteur





La norme d'un vecteur est son
auto produit scalaire. A la différence d'un espace
Euclidien, la norme n'est pas nécessairement positive.




Si h_mn.V^mVⁿ < 0 , le vecteur
V^m est dit de type
temps


Si h_mn.V^mVⁿ = 0 , le vecteur V^m est dit de type
lumière ou nul


Si h_mn.V^mVⁿ > 0 , le vecteur
V^m est dit de type
espace




A la différence de la géométrie
Euclidienne, la norme d'un vecteur peut être nulle sans que le vecteur le soit.
Remarquons que cela rejoint la terminologie que nous avons utilisée
précédemment pour classifier les relations entre deux points de l'espace temps,
ce n'est pas fortuit comme nous verrons plus loin.


Tenseur ( ou symbole
) de Konecker



Un autre tenseur dont nous allons
faire un large usage est le tenseur ( ou symbole ) de Konecker delta d^m_n, de type (1, 1), dont la
composante m,n vaut
1 si m=n et 0
si m¹n et
que nous avons déjà décrit.


Tenseur métrique inverse



En relation avec le tenseur
métrique, nous définissons le tenseur métrique inverse h^mn, tenseur de
type (2, 0) :






Vous remarquerez que le tenseur métrique
inverse a exactement les mêmes composantes que le tenseur métrique lui même.
Ceci n'est vrai que dans les espaces plats cartésiens et n'est pas du tout le
cas d'espaces plus généraux.


Tenseur
de Levi-Civita





Définissons également le tenseur
de Levi-Civita de type (0,4)




e_mnrs = + 1 si mnrs est une permutation paire de 0123


e_mnrs = - 1 si mnrs est une permutation impaire de 0123 ( 1.57)


e_mnrs =
0 autrement




On définit une permutation de
"0123" comme l'opération consistant à permuter (
échanger) deux nombres dans cette suite ordonnée de 4 nombres. Si cette
opération est répétée un nombre pair de fois, la permutation est dite paire,
elle est dite impaire si elle est répétée un nombre impair de fois. Toute autre
réarrangement de nombres entre dans la catégorie "autrement". Par
exemple, e₀₃₂₁ = - 1


Propriété remarquable des tenseurs métrique, métrique
inverse, Kronecker delta, et Levi Civita



Les tenseurs définis ci dessus,
les tenseurs métrique, métrique inverse, Kronecker delta, et Levi Civita ont en commun la
propriété remarquable, bien qu'ils se transforment par la loi ( 1.51) de transformation des tenseurs lors d'un changement
de base cartésienne, de conserver leurs composantes inchangées dans n'importe
quel système de coordonnées cartésiennes
dans un espace temps plat. C'est un
peu un contre exemple, dans la mesure ou la plupart des tenseurs ne possèdent
pas cette propriété particulière. En fait, ces tenseurs perdent cette propriété
lorsque nous nous plaçons dans des espaces temps plus généraux, à l'exception
du Kronecker delta qui conserve exactement les mêmes composantes dans n'importe
quel système de coordonnées dans n'importe quel espace temps.


Ceci s'explique par le fait qu'un
tenseur est une forme linéaire, le tenseur Kronecker delta représentant la
forme linéaire identité qui transforme un vecteur ( simple
ou dual) en lui même, devant avoir les
mêmes composantes dans tous les systèmes de coordonnées ( quelles que soient
ces coordonnées, ce tenseur traduit l'identité entre la source et le produit de
la transformation).


Les autres tenseurs ( métrique, son inverse, et Levi-Civita caractérisent la
structure de l'espace temps et dépendent tous de la métrique. Nous devons les
manipuler avec circonspection hors du domaine des espaces temps plats.


Tenseur intensité de champ électromagnétique





Le tenseur intensité de champ électromagnétique représente un exemple
très important de tenseur. Nous savons ( ou devrions savoir)
que le champ électromagnétique peut être représenté par un vecteur champ
électrique E_i
et un vecteur champ magnétique B_i.
( Rappelons que nous avons réservé les indices latins
aux composantes d'espace 1,2,3). En fait ce ne sont que des
"vecteurs" d'espace en ce sens qu'ils sont invariants par des
rotations de l'espace, pas par des transformations complètes du groupe de
Lorentz. Définissons le tenseur F_mn, de type (0,2) suivant :



De cette définition nous savons transformer
les champs électromagnétiques présents dans un référentiel dans un autre en
utilisant (1.51).


Le formalisme tensoriel nous
apporte un moyen puissant d'unification.
Plutôt qu'utiliser deux vecteurs différents dont les relations et les lois de transformation
sont mystérieuses, nous avons maintenant un seul tenseur qui synthétise la
description du champ électromagnétique. D'un autre côté, ne soyons pas aussi
radical, il est quelquefois utile dans un système de coordonnées défini de
travailler sur les vecteurs électriques et magnétiques.


Contraction d'un tenseur



Avec ces exemples sous la main,
poursuivons notre examen des propriétés des tenseurs. Considérons l'opération
de contraction d'un tenseur qui
transforme un tenseur (k, l ) en un tenseur (k - 1, l - 1). La
contraction s'obtient en sommant un index haut (exposant) sur un index bas ( indice) ou vice versa.



On peut vérifier que le résultat
est un tenseur parfaitement défini. Remarquons, que nous ne pouvons contracter
un exposant qu'avec un indice ( et vice versa) , on ne
peut pas le faire entre deux index de même type. L'ordre également importe, on
peut obtenir différents tenseurs en les contractant différemment :




Abaisser et élever des index d'un tenseur



Le tenseur métrique et inverse
métrique sont très utiles pour respectivement abaisser et élever des index sur les tenseurs. Soit le tenseur T^b_gd nous pouvons utiliser la métrique pour définir
de nouveaux tenseurs que nous choisissons de dénoter par la même lettre T :



Et ainsi de suite. Notons que élever ou
abaisser des index ne change pas la position des autres index non sommés. Les
indices libres ( non sommés) doivent être les mêmes
des deux côtés de l'équation alors que l'indice neutre de sommation est
arbitraire et n'apparaît que d'un côté.


On peut ainsi transformer des
vecteurs duaux en vecteurs et réciproquement par ces opérations :



La vérité sur le gradient dans un espace Euclidien





Ceci explique pourquoi le gradient
dans un espace Euclidien tridimensionnel est considéré comme un vecteur alors
qu'en fait c'est un vecteur dual. Dans un espace Euclidien où la métrique est
la matrice diagonale Identité, un vecteur dual se transforme en un vecteur avec
exactement les mêmes composantes d'où l'amalgame. ( A
noter que ceci est une propriété de tous les espaces strictement Euclidiens à
base cartésienne, quels que soient leur dimension, on dit aussi que les
composantes contravariantes et covariantes d'un
vecteur sont les mêmes). On peut se demander alors pourquoi on fait toute une montagne de cette distinction.
C'est simplement que dans un espace Lorentzien, ceci
n'est plus vrai :



Dans les espaces courbes, où la
métrique est plus complexe la différence devient très significative. Mais il y
a une raison plus profonde, à savoir que les tenseurs ont une définition
naturelle qui est indépendante de la métrique. Même si nous allons toujours
avoir une métrique disponible, il est essentiel d'être conscient de la nature des objets mathématiques que
nous introduisons. Le gradient et son action sont parfaitement définis
indépendamment d'une quelconque métrique, tandis qu'un "gradient avec
exposants " ne l'est pas. A titre d'exemple, nous pourrions prendre les
variations de fonctions par rapport à la métrique et en conséquence avoir à
connaître exactement comment ces fonctions dépendent de la métrique, c.a.d quelque chose rendu obscur par la notation indexielle.



Tenseurs
symétriques





En poursuivant d'explorer le
jargon tensoriel, nous en venons aux tenseurs
symétriques par rapport à certains indices ou exposants qui ont la
propriété de rester invariants si on échange ces dits indices entre eux ou ces
dits exposants entre eux. Alors si :